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莱纳回到讲台上,令丹娜与克莱尔的目光再度聚焦在黑板,那个光照术的法术模型上。
一开始莱纳说的改良法术模型的话语又再度浮现在她们的心头,两位女士怀揣着好奇的心态看着莱纳,不知道他究竟要从哪里开始改良。
可没想到莱纳却没有在法术模型上继续动笔,而是在旁边,用白色的粉笔点下一个点。
“我们新建立一个坐标系。”
莱纳划出一条笔直的水平线,将原点定为o,横轴定为r,当然这并非英文字符,而是通用语的两个字母。
但接下来,克莱尔意料之中的纵轴却没有出现,仿佛莱纳的坐标轴就到此为止了。
“咦?”
就在两人疑惑之时,莱纳从原点延伸出了一条线段,然后标注了一下这条线与横轴的夹角,定为θ,将线段的另一端的点定为a。
“过去,直角坐标系可以用两个数值来确定平面上的一点,比如这个点,如果在直角坐标系上,就应该是a(x,y),假设x和y都是1,那么a应该就是(1,1)。”
莱纳说着,然后话锋一转。
“但如果我不用x和y,转而使用a点与原点的连线同横坐标轴的夹角θ与单位长度r来表示这个点,会得到什么结果呢。”
给了两人一些思考的时间,莱纳才在黑板上继续写上。
a(r*cosθ,r*sinθ)。
这个有些特别的表述方式令丹娜有些晕,不过三角函数算是构筑魔法的基础,在魔法中,角度的计算也要更加方便,所以她很快也就理解了。
“这个是我引入的新的坐标表述方法,可以称其为极坐标。”
说完,莱纳在旁边建立了一个正常的直角坐标系,画了一条过原点的开口向上的抛物线。
“倘若我们想描述这个曲线的函数方程,应该是什么,丹娜?”
他提问道,令丹娜猝不及防。
不过好在这比较简单,丹娜很快就给出了答案。
“呃,y=x^2?”
“准确来说,应该是y=2p*x^2,在这个函数方程中,由于涉及到平方的操作,所以比一般的直线方程要更加复杂,如果曲线的位置有所变化,比如不在原点的话,那么就会更加麻烦。”
莱纳说着,又继续在黑板上书写。
“接下来我们可以建立两个等式:y=r*sinθ,x=r*cosθ,将其代入原本的方程,消去简化之后就能得到一个方程,r=tanθcosθ。”
克莱尔点了点头,但这个函数方程看起来似乎更加复杂了,她不明白莱纳为何要用这种麻烦的方式来记录曲线的轨迹。
“当然,这是非常复杂的方式,但如果我们稍微改变一下定义,r是抛物线上的点与焦点的距离,θ确定为抛物线上的点与焦点连线同纵轴正方向的夹角呢?”
莱纳的提问让克莱尔与丹娜愣住了。
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